Inhoud
In deze publicatie zullen we de basiseigenschappen van hoogte in een gelijkzijdige (regelmatige) driehoek beschouwen. We zullen ook een voorbeeld analyseren van het oplossen van een probleem over dit onderwerp.
Opmerking: de driehoek heet gelijkzijdigals alle zijden gelijk zijn.
Hoogte-eigenschappen in een gelijkzijdige driehoek
Eigenschap 1
Elke hoogte in een gelijkzijdige driehoek is zowel een bissectrice, een mediaan als een middelloodlijn.
- BD – hoogte verlaagd naar de zijkant AC;
- BD is de mediaan die de zijde verdeelt AC in de helft, dat wil zeggen AD = Gelijkstroom;
- BD – bissectrice ABC, dwz ∠ABD = ∠CBD;
- BD is de mediaan loodrecht op AC.
Eigenschap 2
Alle drie de hoogten in een gelijkzijdige driehoek hebben dezelfde lengte.
AE = BD = CF
Eigenschap 3
De hoogten in een gelijkzijdige driehoek in het orthocenter (snijpunt) zijn verdeeld in een verhouding van 2:1, geteld vanaf het hoekpunt waaruit ze zijn getrokken.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Eigenschap 4
Het orthocentrum van een gelijkzijdige driehoek is het middelpunt van de ingeschreven en omgeschreven cirkels.
- R is de straal van de omgeschreven cirkel;
- r is de straal van de ingeschreven cirkel;
- R = 2r (volgt uit Eigenschappen 3).
Eigenschap 5
De hoogte in een gelijkzijdige driehoek verdeelt deze in twee rechthoekige driehoeken met gelijke oppervlakte (gelijke oppervlakte).
S1 =S2
Drie hoogten in een gelijkzijdige driehoek verdelen het in 6 rechthoekige driehoeken van gelijke oppervlakte.
Eigenschap 6
Als u de lengte van de zijde van een gelijkzijdige driehoek kent, kan de hoogte worden berekend met de formule:
a is de zijde van de driehoek.
Voorbeeld van een probleem
De straal van een omgeschreven cirkel rond een gelijkzijdige driehoek is 7 cm. Zoek de zijde van deze driehoek.
Oplossing
Zoals we weten van eigenschappen 3 и 4, de straal van de omgeschreven cirkel is 2/3 van de hoogte van een gelijkzijdige driehoek (h). Vervolgens, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5cm.
Nu rest het nog om de lengte van de zijde van de driehoek te berekenen (de uitdrukking is afgeleid van de formule in Eigenschap 6):
