De kleine stelling van Fermat

In deze publicatie zullen we een van de belangrijkste stellingen in de theorie van gehele getallen beschouwen:  De kleine stelling van Fermatvernoemd naar de Franse wiskundige Pierre de Fermat. We zullen ook een voorbeeld analyseren van het oplossen van het probleem om het gepresenteerde materiaal te consolideren.

Verklaring van de stelling

1. Initiaal

If p is een priemgetal a is een geheel getal dat niet deelbaar is door pharte a^p-1 - 1 gedeeld door p.

Het is formeel als volgt geschreven: a^p-1 1 (tegen p).

Opmerking: Een priemgetal is een natuurlijk getal dat alleen deelbaar is door XNUMX en zichzelf zonder rest.

Bijvoorbeeld:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• aantal 15 gedeeld door 5 zonder rest.

2. Alternatief

If p is een priemgetal, a elk geheel getal, dan a^p vergelijkbaar met a formulier p.

a^p ≡ een (tegen p)

Geschiedenis van het vinden van bewijs

Pierre de Fermat formuleerde de stelling in 1640, maar bewees deze niet zelf. Later werd dit gedaan door Gottfried Wilhelm Leibniz, een Duitse filosoof, logicus, wiskundige, enz. Er wordt aangenomen dat hij het bewijs al in 1683 had, hoewel het nooit werd gepubliceerd. Het is opmerkelijk dat Leibniz de stelling zelf ontdekte, niet wetende dat deze al eerder was geformuleerd.

Het eerste bewijs van de stelling werd gepubliceerd in 1736 en is eigendom van de Zwitser, Duitser en wiskundige en monteur Leonhard Euler. De kleine stelling van Fermat is een speciaal geval van de stelling van Euler.

Voorbeeld van een probleem

Vind de rest van een getal 2¹² on 12.

Oplossing

Laten we ons een getal voorstellen 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 is een priemgetal, daarom krijgen we volgens de kleine stelling van Fermat:

2¹¹ 2 (tegen 11).

Vandaar, 2⋅2¹¹ 4 (tegen 11).

Dus het nummer 2¹² gedeeld door 12 met een rest gelijk aan 4.