Hoogte-eigenschappen van een rechthoekige driehoek

In deze publicatie zullen we de belangrijkste eigenschappen van de hoogte in een rechthoekige driehoek beschouwen en ook voorbeelden analyseren van het oplossen van problemen over dit onderwerp.

Opmerking: de driehoek heet rechthoekig, als een van de hoeken recht is (gelijk aan 90°) en de andere twee scherp zijn (<90°).

Hoogte-eigenschappen in een rechthoekige driehoek

Eigenschap 1

Een rechthoekige driehoek heeft twee hoogtes (h₁ и h₂) samenvallen met zijn benen.

derde hoogte (h₃) daalt af naar de hypotenusa vanuit een rechte hoek.

Eigenschap 2

Het orthocenter (snijpunt van hoogten) van een rechthoekige driehoek bevindt zich op het hoekpunt van de rechte hoek.

Eigenschap 3

De hoogte in een rechthoekige driehoek die naar de hypotenusa wordt getrokken, verdeelt deze in twee gelijkaardige rechthoekige driehoeken, die ook gelijkaardig zijn aan de oorspronkelijke.

1.ABD ~ABC onder twee gelijke hoeken: ∠ADB =LAC (rechte lijnen),ABD =ABC.

2.ADC ~ABC onder twee gelijke hoeken: ∠ADC =LAC (rechte lijnen),ACD =ACB.

3.ABD ~ADC onder twee gelijke hoeken: ∠ABD =DAC,BAD =ACD.

Bewijs: ∠BAD = 90° –ABD (ABC). TegelijkertijdACD (ACB) = 90° –ABC.

Daarom,BAD =ACD.

Op soortgelijke wijze kan worden bewezen datABD =DAC.

Eigenschap 4

In een rechthoekige driehoek wordt de hoogte naar de hypotenusa als volgt berekend:

1. Door segmenten op de hypotenusa, gevormd als gevolg van de deling door de basis van de hoogte:

2. Door de lengtes van de zijden van de driehoek:

Deze formule is afgeleid van Eigenschappen van de sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek (de sinus van de hoek is gelijk aan de verhouding van het andere been tot de hypotenusa):

Opmerking: naar een rechthoekige driehoek, zijn de algemene hoogte-eigenschappen die in onze publicatie worden gepresenteerd ook van toepassing.

Voorbeeld van een probleem

Taak 1

De schuine zijde van een rechthoekige driehoek wordt gedeeld door de hoogte die ernaartoe wordt getrokken in segmenten van 5 en 13 cm. Zoek de lengte van deze hoogte.

Oplossing

Laten we de eerste formule gebruiken die wordt gepresenteerd in Eigenschap 4:

Taak 2

De poten van een rechthoekige driehoek zijn 9 en 12 cm. Zoek de lengte van de hoogte die naar de hypotenusa is getrokken.

Oplossing

Laten we eerst de lengte van de hypotenusa vinden (laat de benen van de driehoek zijn "naar" и “B”, en de hypotenusa is "Vs"):

c² = A² + B² = 9² + 12² = 225.

Dientengevolge, de с = 15 cm.

Nu kunnen we de tweede formule toepassen van Eigenschappen 4hierboven besproken: