Wat is de limiet van een functie?

In deze publicatie zullen we een van de belangrijkste concepten van wiskundige analyse beschouwen - de limiet van een functie: de definitie ervan, evenals verschillende oplossingen met praktische voorbeelden.

De limiet van een functie bepalen

Functielimiet – de waarde waarnaar de waarde van deze functie neigt wanneer het argument naar het limietpunt neigt.

Limietrecord:

• de limiet wordt aangegeven door het pictogram lim;
• hieronder wordt toegevoegd naar welke waarde het argument (variabele) van de functie neigt. Meestal is dit x, maar niet noodzakelijk, bijvoorbeeld:x→1″;
• dan wordt de functie zelf aan de rechterkant toegevoegd, bijvoorbeeld:

  

Het uiteindelijke record van de limiet ziet er dus als volgt uit (in ons geval):

Leest als "limiet van de functie als x neigt naar eenheid".

x→ 1 – dit betekent dat “x” consequent waarden aanneemt die de eenheid oneindig benaderen, maar er nooit mee zullen samenvallen (deze wordt niet bereikt).

Beslissingslimieten

Met een gegeven nummer

Laten we de bovenstaande limiet oplossen. Om dit te doen, vervangt u gewoon de eenheid in de functie (omdat x→1):

Dus, om de limiet op te lossen, proberen we eerst eenvoudig het gegeven getal te vervangen door de functie eronder (als x neigt naar een specifiek getal).

met oneindig

In dit geval neemt het argument van de functie oneindig toe, dat wil zeggen, "X" neigt naar oneindig (∞). Bijvoorbeeld:

If x→∞, dan neigt de gegeven functie naar min oneindig (-∞), omdat:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 enz.

Nog een complexer voorbeeld

Om deze limiet op te lossen, verhoogt u ook gewoon de waarden x en kijk in dit geval naar het "gedrag" van de functie.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Dus, voor "X"neigt naar oneindig, de functie x² +3x –6 groeit oneindig.

Met onzekerheid (x neigt naar oneindig)

In dit geval hebben we het over limieten, wanneer de functie een breuk is, waarvan de teller en noemer polynomen zijn. Waarin "X" neigt naar oneindig.

Voorbeeld: laten we de limiet hieronder berekenen.

Oplossing

De uitdrukkingen in zowel de teller als de noemer neigen naar oneindig. Aangenomen kan worden dat in dit geval de oplossing als volgt zal zijn:

Echter niet allemaal zo eenvoudig. Om de limiet op te lossen, moeten we het volgende doen:

1. Vind x tot de hoogste macht voor de teller (in ons geval is het twee).

2. Op dezelfde manier definiëren we x tot de hoogste macht voor de noemer (is ook gelijk aan twee).

3. Nu delen we zowel de teller als de noemer door x in hogere graad. In ons geval, in beide gevallen - in het tweede, maar als ze anders waren, zouden we de hoogste graad moeten nemen.

4. In het resulterende resultaat neigen alle breuken naar nul, daarom is het antwoord 1/2.

Met onzekerheid (x neigt naar een bepaald aantal)

Zowel de teller als de noemer zijn polynomen, maar "X" neigt naar een specifiek getal, niet naar oneindig.

In dit geval sluiten we voorwaardelijk onze ogen voor het feit dat de noemer nul is.

Voorbeeld: Laten we de limiet van de onderstaande functie zoeken.

Oplossing

1. Laten we eerst het getal 1 in de functie vervangen, waaraan "X". We krijgen de onzekerheid van de vorm die we overwegen.

2. Vervolgens ontleden we de teller en noemer in factoren. Om dit te doen, kunt u de verkorte vermenigvuldigingsformules gebruiken, als ze geschikt zijn, of.

In ons geval zijn de wortels van de uitdrukking in de teller (2x² – 5x + 3 = 0) zijn de cijfers 1 en 1,5. Daarom kan het worden weergegeven als: 2(x-1)(x-1,5).

noemer (x–1) is in eerste instantie eenvoudig.

3. We krijgen zo'n gewijzigde limiet:

4. De breuk kan worden verminderd met (x–1):

5. Het blijft alleen om het nummer 1 te vervangen in de uitdrukking die is verkregen onder de limiet: