Een complex getal verheffen tot een natuurlijke macht

In deze publicatie gaan we in op hoe een complex getal tot een macht kan worden verheven (onder meer met de formule van De Moivre). Het theoretische materiaal gaat vergezeld van voorbeelden voor een beter begrip.

Een complex getal tot een macht verheffen

Onthoud eerst dat een complex getal de algemene vorm heeft: z = a + bi (algebraïsche vorm).

Nu kunnen we direct doorgaan naar de oplossing van het probleem.

Vierkant nummer

We kunnen de graad weergeven als een product van dezelfde factoren en dan hun product vinden (terwijl we onthouden dat i² = -1).

z² = (een + bi)² = (een + bi)(een + bi)

Voorbeeld 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Je kunt ook gebruiken, namelijk het kwadraat van de som:

z² = (een + bi)² = a² + 2 ⋅ een ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Opmerking: Op dezelfde manier kunnen, indien nodig, formules worden verkregen voor het kwadraat van het verschil, de derde macht van de som / het verschil, enz.

N-de graad

Een complex getal verhogen z in natura n veel gemakkelijker als het wordt weergegeven in trigonometrische vorm.

Bedenk dat de notatie van een getal er in het algemeen als volgt uitziet: z = |z| ⋅ (cos φ + ik ⋅ sin φ).

Voor machtsverheffing kun je gebruiken Formule van De Moivre (zo genoemd naar de Engelse wiskundige Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + ik ⋅ sin(nφ))

De formule wordt verkregen door in trigonometrische vorm te schrijven (de modules worden vermenigvuldigd en de argumenten worden toegevoegd).

Voorbeeld 2

Een complex getal verhogen z = 2 ⋅ (cos 35° + ik ⋅ sin 35°) tot de achtste graad.

Oplossing

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + ik ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + ik sin 280°).