De wortel van een complex getal extraheren

In deze publicatie zullen we bekijken hoe je de wortel van een complex getal kunt nemen, en ook hoe dit kan helpen bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen waarvan de discriminant kleiner is dan nul.

De wortel van een complex getal extraheren

Vierkantswortel

Zoals we weten, is het onmogelijk om de wortel van een negatief reëel getal te nemen. Maar als het gaat om complexe getallen, kan deze actie worden uitgevoerd. Laten we het uitzoeken.

Laten we zeggen dat we een nummer hebben z = -9. Voor √-9 er zijn twee wortels:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

Laten we de verkregen resultaten controleren door de vergelijking op te lossen z² = -9, niet te vergeten dat i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ik² = 9 (-1) = -9

(3i)² = 3² ik² = 9 (-1) = -9

Zo hebben we bewezen dat -3i и 3i zijn wortels √-9.

De wortel van een negatief getal wordt meestal als volgt geschreven:

√-1 = ± ik

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i enz.

Wortel tot de kracht van n

Stel dat we vergelijkingen krijgen van de vorm z = ⁿ√w… Het heeft n wortels (z₀Van₁Van₂,..., z_n-1), die kan worden berekend met behulp van de onderstaande formule:

|w| is de module van een complex getal w;

φ – zijn argument

k is een parameter die de volgende waarden aanneemt: k = {0, 1, 2,..., n-1}.

Kwadratische vergelijkingen met complexe wortels

Het extraheren van de wortel van een negatief getal verandert het gebruikelijke idee van uXNUMXbuXNUMXb. Als de discriminerende (D) kleiner is dan nul, dan kunnen er geen echte wortels zijn, maar kunnen ze worden weergegeven als complexe getallen.

Voorbeeld

Laten we de vergelijking oplossen x² – 8x + 20 = 0.

Oplossing

a = 1, b = -8, c = 20

D = geb² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, maar we kunnen nog steeds de wortel van de negatieve discriminant nemen:

√D =-16 = ±4i

Nu kunnen we de wortels berekenen:

x_1,2 = (-b ±D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Daarom is de vergelijking x² – 8x + 20 = 0 heeft twee complexe geconjugeerde wortels:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i