Inhoud
In deze publicatie zullen we de definitie van de rangorde van een matrix beschouwen, evenals de methoden waarmee deze kan worden gevonden. We zullen ook voorbeelden analyseren om de toepassing van de theorie in de praktijk te demonstreren.
De rangorde van een matrix bepalen
Matrixrang is de rangorde van het systeem van rijen of kolommen. Elke matrix heeft zijn rij- en kolomrangen, die aan elkaar gelijk zijn.
Rij systeem rang is het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen. De rangorde van het kolomsysteem wordt op soortgelijke wijze bepaald.
Opmerkingen:
- De rangorde van de nulmatrix (aangegeven met het symbool “θ") van elke grootte is nul.
- De rangorde van elke rij- of kolomvector die niet nul is, is gelijk aan één.
- Als een matrix van welke grootte dan ook ten minste één element bevat dat niet gelijk is aan nul, dan is de rangorde niet kleiner dan één.
- De rangorde van een matrix is niet groter dan de minimale afmeting.
- Elementaire transformaties die op een matrix worden uitgevoerd, veranderen de rangorde niet.
De rangorde van een matrix vinden
Fringing Minor-methode
De rangorde van een matrix is gelijk aan de maximale orde van een niet-nul.
Het algoritme is als volgt: vind de minderjarigen van de laagste tot de hoogste. Indien minderjarig ne orde is niet gelijk aan nul, en alle volgende (n + 1) zijn gelijk aan 0, dus de rangorde van de matrix is n.
Voorbeeld
Laten we om het duidelijker te maken een praktisch voorbeeld nemen en de rangorde van de matrix vinden A hieronder, met behulp van de methode van bordering minors.
Oplossing
We hebben te maken met een matrix van 4 × 4, daarom kan de rangorde niet hoger zijn dan 4. Ook zijn er niet-nulelementen in de matrix, wat betekent dat de rangorde niet minder dan één is. Dus laten we beginnen:
1. Begin met controleren minderjarigen van de tweede orde. Om te beginnen nemen we twee rijen van de eerste en tweede kolom.
Minor is gelijk aan nul.
Daarom gaan we naar de volgende minor (de eerste kolom blijft, en in plaats van de tweede nemen we de derde).
De minor is 54≠0, dus de rangorde van de matrix is minimaal twee.
Opmerking: Als deze minor gelijk aan nul bleek te zijn, zouden we de volgende combinaties verder controleren:
Indien nodig kan de opsomming op dezelfde manier worden voortgezet met strings:
- 1 en 3;
- 1 en 4;
- 2 en 3;
- 2 en 4;
- 3 en 4.
Als alle minderjarigen van de tweede orde gelijk zouden zijn aan nul, dan zou de rangorde van de matrix gelijk zijn aan één.
2. We hebben vrijwel direct een minor gevonden die bij ons past. Dus laten we verder gaan met minderjarigen van de derde orde.
Aan de gevonden minor van de tweede orde, die een resultaat gaf dat niet nul was, voegen we een rij toe en een van de groen gemarkeerde kolommen (we beginnen bij de tweede).
De minderjarige bleek nul te zijn.
Daarom veranderen we de tweede kolom in de vierde. En bij de tweede poging slagen we erin een mineur te vinden die niet gelijk is aan nul, wat betekent dat de rangorde van de matrix niet kleiner kan zijn dan 3.
Opmerking: als het resultaat weer nul zou zijn, in plaats van de tweede rij, zouden we de vierde verder nemen en verder zoeken naar een “goede” minor.
3. Nu blijft het om te bepalen: minderjarigen van de vierde orde op basis van wat eerder werd gevonden. In dit geval is het er een die overeenkomt met de determinant van de matrix.
Minor is gelijk aan 144≠0. Dit betekent dat de rangorde van de matrix A gelijk aan 4.
Reductie van een matrix naar een getrapte vorm
De rangorde van een stappenmatrix is gelijk aan het aantal rijen die niet nul zijn. Dat wil zeggen, het enige dat we hoeven te doen is de matrix in de juiste vorm te brengen, bijvoorbeeld met , die, zoals we hierboven vermeldden, de rangorde niet verandert.
Voorbeeld
Vind de rangorde van een matrix B onderstaand. We nemen geen al te ingewikkeld voorbeeld, want ons belangrijkste doel is simpelweg om de toepassing van de methode in de praktijk te demonstreren.
Oplossing
1. Trek eerst de verdubbelde eerste af van de tweede regel.
2. Trek nu de eerste rij af van de derde rij, vermenigvuldigd met vier.
We hebben dus een stappenmatrix waarin het aantal niet-nul rijen gelijk is aan twee, daarom is de rangorde ook gelijk aan 2.