In deze publicatie zullen we bekijken wat de Gauss-methode is, waarom deze nodig is en wat het principe ervan is. We zullen ook aan de hand van een praktisch voorbeeld demonstreren hoe de methode kan worden toegepast om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen.
Beschrijving van de Gauss-methode
Gauss-methode: is de klassieke methode van sequentiële eliminatie van variabelen die worden gebruikt om op te lossen. Het is genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Maar laten we ons eerst herinneren dat SLAU:
- één enkele oplossing hebben;
- een oneindig aantal oplossingen hebben;
- onverenigbaar zijn, dwz geen oplossingen hebben.
Praktische voordelen
De Gauss-methode is een geweldige manier om een SLAE op te lossen die meer dan drie lineaire vergelijkingen bevat, evenals systemen die niet vierkant zijn.
Principe van de Gauss-methode
De methode omvat de volgende stappen:
- recht – de vergrote matrix die overeenkomt met het stelsel vergelijkingen, wordt verkleind door de manier boven de rijen tot de bovenste driehoekige (getrapte) vorm, dwz onder de hoofddiagonaal mogen alleen elementen gelijk aan nul zijn.
- terug – in de resulterende matrix worden de elementen boven de hoofddiagonaal ook op nul gezet (onderste driehoekige weergave).
Voorbeeld van SLAE-oplossing
Laten we het onderstaande stelsel lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van de Gauss-methode.
Oplossing
1. Om te beginnen presenteren we de SLAE in de vorm van een uitgebreide matrix.
2. Nu is het onze taak om alle elementen onder de hoofddiagonaal opnieuw in te stellen. Verdere acties zijn afhankelijk van de specifieke matrix, hieronder zullen we de acties beschrijven die van toepassing zijn op ons geval. Eerst verwisselen we de rijen en plaatsen zo hun eerste elementen in oplopende volgorde.
3. Trek van de tweede rij twee keer de eerste af, en van de derde – verdrievoudig de eerste.
4. Voeg de tweede regel toe aan de derde regel.
5. Trek de tweede regel van de eerste regel af en deel tegelijkertijd de derde regel door -10.
6. De eerste fase is voltooid. Nu moeten we de null-elementen boven de hoofddiagonaal krijgen. Om dit te doen, trekt u de derde vermenigvuldigd met 7 af van de eerste rij en voegt u de derde vermenigvuldigd met 5 toe aan de tweede.
7. De uiteindelijke uitgebreide matrix ziet er als volgt uit:
8. Het komt overeen met het systeem van vergelijkingen:
Antwoord: wortel SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.