In deze publicatie zullen we een van de klassieke stellingen van affiene meetkunde beschouwen - de stelling van Ceva, die zo'n naam kreeg ter ere van de Italiaanse ingenieur Giovanni Ceva. We zullen ook een voorbeeld van het oplossen van het probleem analyseren om het gepresenteerde materiaal te consolideren.
Verklaring van de stelling
Driehoek gegeven ABC, waarbij elk hoekpunt is verbonden met een punt aan de andere kant.
We krijgen dus drie segmenten (AA ', BB ' и CC '), die worden genoemd cevianen.
Deze segmenten snijden elkaar op één punt als en slechts als de volgende gelijkheid geldt:
|EN'| |NIET'| |CB'| = |BC '| |VERSCHUIVING'| |AB '|
De stelling kan ook in deze vorm worden weergegeven (er wordt bepaald in welke verhouding de punten de zijden verdelen):
Goniometrische stelling van Ceva
Let op: alle hoeken zijn georiënteerd.
Voorbeeld van een probleem
Driehoek gegeven ABC met stippen NAAR', B ' и C ' aan de zijkanten BC, AC и AB, respectievelijk. De hoekpunten van de driehoek zijn verbonden met de gegeven punten en de gevormde segmenten gaan door één punt. Tegelijkertijd zijn de punten NAAR' и B ' genomen op de middelpunten van de overeenkomstige tegenoverliggende zijden. Zoek uit in welke verhouding het punt C ' verdeelt de zijkant AB.
Oplossing
Laten we een tekening tekenen volgens de omstandigheden van het probleem. Voor ons gemak hanteren we de volgende notatie:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Het blijft alleen om de verhouding van de segmenten volgens de Ceva-stelling samen te stellen en de geaccepteerde notatie erin te vervangen:
Na het verkleinen van de breuken krijgen we:
Vandaar, AC' = C'B, dwz punt C ' verdeelt de zijkant AB door de helft.
Daarom, in onze driehoek, de segmenten AA ', BB ' и CC ' zijn mediaan. Nadat we het probleem hadden opgelost, bewezen we dat ze elkaar op één punt snijden (geldig voor elke driehoek).
Opmerking: met behulp van de stelling van Ceva kan men bewijzen dat in een driehoek op één punt de bissectrices of hoogten elkaar ook snijden.